50、第九章 动态规划part17

本节内容

    1. 回文子串
  • 516.最长回文子序列
  • 动态规划总结

647. 回文子串※

建议：

题目链接： https://leetcode.cn/problems/palindromic-substrings/
文章讲解： https://programmercarl.com/0647.%E5%9B%9E%E6%96%87%E5%AD%90%E4%B8%B2.html
视频讲解：

题目分析



方案一

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class Solution {  
    public int countSubstrings(String s) {  
        int result = 1;  
        int index = 0;  
  
        List<List<Integer>> dp = new ArrayList<>(s.length());  
        List<Integer> list = new ArrayList<>();  
        list.add(0);  
        dp.add(list);  
        for (int i = 1; i < s.length(); i++) {  
            List<Integer> dp1 = dp.get(i - 1);  
            list = new ArrayList<>();  
            result++;  
            list.add(i);  
            index = 0;  
            while (i - index > 0 && s.charAt(i) == s.charAt(i - index - 1)) {  
                result++;  
                list.add(i - index - 1);  
                index++;  
            }  
  
            for (int j = index; j < dp1.size(); j++) {  
                if (dp1.get(j) > 0 && s.charAt(i) == s.charAt(dp1.get(j) - 1)) {  
                    result++;  
                    list.add(dp1.get(j) - 1);  
                }  
            }  
  
            dp.add(list);  
//            System.out.println("list = " + list);  
        }  
  
        return result;  
    }  
}

结果

解答成功:
执行耗时:10 ms,击败了42.92% 的Java用户
内存消耗:49.2 MB,击败了5.01% 的Java用户

分析

时间复杂度：
O( n ^ 2 )

空间复杂度：
O( n ^ n )

代码随想录

https://programmercarl.com/0647.%E5%9B%9E%E6%96%87%E5%AD%90%E4%B8%B2.html

暴力解法

两层for循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后还需要一层遍历判断这个区间是不是回文。所以时间复杂度：O(n^3)

动态规划

动规五部曲：

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

如果大家做了很多这种子序列相关的题目，在定义dp数组的时候 很自然就会想题目求什么，我们就如何定义dp数组。

绝大多数题目确实是这样，不过本题如果我们定义，dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。

dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。

所以我们要看回文串的性质。 如图：

我们在判断字符串S是否是回文，那么如果我们知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。

那么此时我们是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串的下表范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下表范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文。

所以为了明确这种递归关系，我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。

布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

  1. 确定递推公式

在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。

整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。

当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。

当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

  • 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
  • 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
  • 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：

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if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        result++;
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        result++;
        dp[i][j] = true;
    }
}

result就是统计回文子串的数量。

注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。

  1. dp数组如何初始化

dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。

所以dp[i][j]初始化为false。

  1. 确定遍历顺序

遍历顺序可有有点讲究了。

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。

dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：

如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

代码如下：

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for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
    for (int j = i; j < s.size(); j++) {
        if (s[i] == s[j]) {
            if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                result++;
                dp[i][j] = true;
            } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                result++;
                dp[i][j] = true;
            }
        }
    }
}
  1. 举例推导dp数组

举例，输入：”aaa”，dp[i][j]状态如下：

图中有6个true，所以就是有6个回文子串。

注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。

以上分析完毕，C++代码如下：

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class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
        int result = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
};

以上代码是为了凸显情况一二三，当然是可以简洁一下的，如下：

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class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
        int result = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
                    result++;
                    dp[i][j] = true;
                }
            }
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度：O(n^2)
  • 空间复杂度：O(n^2)

双指针法

动态规划的空间复杂度是偏高的，我们再看一下双指针法。

首先确定回文串，就是找中心然后向两边扩散看是不是对称的就可以了。

在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况。

一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。

那么有人同学问了，三个元素还可以做中心点呢。其实三个元素就可以由一个元素左右添加元素得到，四个元素则可以由两个元素左右添加元素得到。

所以我们在计算的时候，要注意一个元素为中心点和两个元素为中心点的情况。

这两种情况可以放在一起计算，但分别计算思路更清晰，我倾向于分别计算，代码如下：

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class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        int result = 0;
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
            result += extend(s, i, i, s.size()); // 以i为中心
            result += extend(s, i, i + 1, s.size()); // 以i和i+1为中心
        }
        return result;
    }
    int extend(const string& s, int i, int j, int n) {
        int res = 0;
        while (i >= 0 && j < n && s[i] == s[j]) {
            i--;
            j++;
            res++;
        }
        return res;
    }
};
  • 时间复杂度：O(n^2)
  • 空间复杂度：O(1)

代码实现

动态规划：

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class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        char[] chars = s.toCharArray();
        int len = chars.length;
        boolean[][] dp = new boolean[len][len];
        int result = 0;
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i; j < len; j++) {
                if (chars[i] == chars[j]) {
                    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { //情况三
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
}

动态规划：简洁版

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class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        boolean[][] dp = new boolean[s.length()][s.length()];
        
        int res = 0;
        for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i; j < s.length(); j++) {
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j) && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
                    res++;
                    dp[i][j] = true;
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

中心扩散法：

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class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        int len, ans = 0;
        if (s == null || (len = s.length()) < 1) return 0;
        //总共有2 * len - 1个中心点
        for (int i = 0; i < 2 * len - 1; i++) {
            //通过遍历每个回文中心，向两边扩散，并判断是否回文字串
            //有两种情况，left == right，right = left + 1，这两种回文中心是不一样的
            int left = i / 2, right = left + i % 2;
            while (left >= 0 && right < len && s.charAt(left) == s.charAt(right)) {
                //如果当前是一个回文串，则记录数量
                ans++;
                left--;
                right++;
            }
        }
        return ans;
    }
}

LeetCode 5. Longest Palindromic Substring(LeetCode 647. 同一題的思路改一下、加一點，就能通過LeetCode 5)

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class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
        //題目要求要return 最長的回文連續子串，故需要記錄當前最長的連續回文子串長度、最終起點、最終終點。
        int finalStart = 0; 
        int finalEnd = 0;
        int finalLen = 0;

        char[] chars = s.toCharArray();
        int len = chars.length;

        boolean[][] dp = new boolean[len][len];
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i; j < len; j++) {
                if (chars[i] == chars[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1]))
                        dp[i][j] = true;
                //和LeetCode 647，差別就在這個if statement。
                //如果當前[i, j]範圍內的substring是回文子串(dp[i][j]) 且(&&) 長度大於當前要記錄的最終長度(j - i + 1 > finalLen)
                //我們就更新 當前最長的連續回文子串長度、最終起點、最終終點
                if (dp[i][j] && j - i + 1 > finalLen) {
                    finalLen = j - i + 1;
                    finalStart = i;
                    finalEnd = j;
                }
            }
        }
        //String.substring這個method的用法是[起點, 終點)，包含起點，不包含終點（左閉右開區間），故終點 + 1。
        return s.substring(finalStart, finalEnd + 1);
    }
}

516.最长回文子序列※

建议：

题目链接： https://leetcode.cn/problems/longest-palindromic-subsequence/
文章讲解： https://programmercarl.com/0516.%E6%9C%80%E9%95%BF%E5%9B%9E%E6%96%87%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%88%97.html
视频讲解：

题目分析



方案一：挣扎过的痕迹

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class Solution {  
    public int longestPalindromeSubseq(String s) {  
        int[][] dp = new int[s.length()][s.length()];  
        int max = 0;  
  
        for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {  
            for (int j = i; j < s.length(); j++) {  
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) { // 此时两边的数据相等  
                    if (j - i <= 1) {  
                        dp[i][j] = j - i + 1;  
                    } else {  
                        dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;  
                    }  
                    max = Math.max(max, dp[i][j]);  
                } else {  
                    if (j - i <= 1) {  
                        dp[i][j] = 1;  
                    } else {  
	                    // 此处的逻辑有问题，看完题解之后才恍然大悟
//                        int maxLength = dp[i + 1][j - 1];  
  
                        dp[i][j] = dp[i][j - 1];  
                    }  
                    max = Math.max(max, dp[i][j]);  
                }  
            }  
            for (int j = 0; j < s.length(); j++) {  
                System.out.print("    " + dp[i][j]);  
            }  
            System.out.println();  
        }  
        return max;  
    }  
}

结果

解答失败:
测试用例:”euazbipzncptldueeuechubrcourfpftcebikrxhybkymimgvldiwqvkszfycvqyvtiwfckexmowcxztkfyzqovbtmzpxojfofbvwnncajvrvdbvjhcrameamcfmcoxryjukhpljwszknhiypvyskmsujkuggpztltpgoczafmfelahqwjbhxtjmebnymdyxoeodqmvkxittxjnlltmoobsgzdfhismogqfpfhvqnxeuosjqqalvwhsidgiavcatjjgeztrjuoixxxoznklcxolgpuktirmduxdywwlbikaqkqajzbsjvdgjcnbtfksqhquiwnwflkldgdrqrnwmshdpykicozfowmumzeuznolmgjlltypyufpzjpuvucmesnnrwppheizkapovoloneaxpfinaontwtdqsdvzmqlgkdxlbeguackbdkftzbnynmcejtwudocemcfnuzbttcoew”
测试结果:49
期望结果:159

分析

时间复杂度：
O( n ^ 2 )

空间复杂度：
O( n ^ 2 )

方案二

和方案一唯一的区别就是有注释的那个递推函数部分。

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class Solution {  
    public int longestPalindromeSubseq(String s) {  
        int[][] dp = new int[s.length()][s.length()];  
        int max = 0;  
  
        for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {  
            for (int j = i; j < s.length(); j++) {  
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) { // 此时两边的数据相等  
                    if (j - i <= 1) {  
                        dp[i][j] = j - i + 1;  
                    } else {  
                        dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;  
                    }  
                    max = Math.max(max, dp[i][j]);  
                } else {  
                    if (j - i <= 1) {  
                        dp[i][j] = 1;  
                    } else {  
                        dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]); // 此处没考虑明白导致没写错这个递推函数  
                    }  
                    max = Math.max(max, dp[i][j]);  
                }  
            }  
//            for (int j = 0; j < s.length(); j++) {  
//                System.out.print("    " + dp[i][j]);  
//            }  
//            System.out.println();  
        }  
        return max;  
    }  
}

结果

解答成功:
执行耗时:46 ms,击败了16.38% 的Java用户
内存消耗:53.6 MB,击败了23.26% 的Java用户

分析

时间复杂度：
O( n ^ 2 )

空间复杂度：
O( n ^ 2 )

代码随想录

https://programmercarl.com/0516.%E6%9C%80%E9%95%BF%E5%9B%9E%E6%96%87%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%88%97.html

思路

回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！ 回文子串，回文子序列都是动态规划经典题目。

回文子串，可以做这两题：

  • 647.回文子串
  • 5.最长回文子串

思路其实是差不多的，但本题要比求回文子串简单一点，因为情况少了一点。

动规五部曲分析如下：

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

**dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]**。

  1. 确定递推公式

在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。

如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

如图：

（如果这里看不懂，回忆一下dp[i][j]的定义）

如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。

加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。

那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

代码如下：

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if (s[i] == s[j]) {
    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}
  1. dp数组如何初始化

首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。

所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。

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vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
  1. 确定遍历顺序

从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图：

所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。

j的话，可以正常从左向右遍历。

代码如下：

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for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
    for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
        if (s[i] == s[j]) {
            dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
        } else {
            dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
}
  1. 举例推导dp数组

输入s:”cbbd” 为例，dp数组状态如图：

红色框即：dp[0][s.size() - 1]; 为最终结果。

以上分析完毕，C++代码如下：

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class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][s.size() - 1];
    }
};
  • 时间复杂度: O(n^2)
  • 空间复杂度: O(n^2)

代码实现

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public class Solution {
    public int longestPalindromeSubseq(String s) {
        int len = s.length();
        int[][] dp = new int[len + 1][len + 1];
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) { // 从后往前遍历 保证情况不漏
            dp[i][i] = 1; // 初始化
            for (int j = i + 1; j < len; j++) {
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], Math.max(dp[i][j], dp[i][j - 1]));
                }
            }
        }
        return dp[0][len - 1];
    }
}

动态规划总结※

https://programmercarl.com/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%E6%80%BB%E7%BB%93%E7%AF%87.html

动规五部曲分别为：

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
  2. 确定递推公式
  3. dp数组如何初始化
  4. 确定遍历顺序
  5. 举例推导dp数组

动规五部曲里，哪一部没想清楚，这道题目基本就做不出来，即使做出来了也没有想清楚，而是朦朦胧胧的就把题目过了。

  • 如果想不清楚dp数组的具体含义，递归公式从何谈起，甚至初始化的时候就写错了。
  • 如果看过背包系列，特别是完全背包，那么两层for循环先后顺序绝对可以搞懵很多人，反而递归公式是简单的。
  • 至于推导dp数组的重要性，动规专题里几乎每篇Carl都反复强调，当程序结果不对的时候，一定要自己推导公式，看看和程序打印的日志是否一样。

动划基础

背包问题系列

打家劫舍系列

股票系列

子序列系列

动规结束语

关于动规，还有 树形DP（打家劫舍系列里有一道），数位DP，区间DP ，概率型DP，博弈型DP，状态压缩dp等等等，这些我就不去做讲解了，面试中出现的概率非常低。

02_1_代码随想录算法训练营18期
#LeetCode #算法训练营
50、第九章 动态规划part17
http://yuanql.top/2023/08/20/02_1_代码随想录算法训练营18期/50、第九章 动态规划part17/
作者
Qingli Yuan
发布于
2023年8月20日
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