本节内容
- 300.最长递增子序列
- 最长连续递增序列
- 最长重复子数组
300.最长递增子序列※
建议：
题目链接： https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/
文章讲解： https://programmercarl.com/0300.%E6%9C%80%E9%95%BF%E4%B8%8A%E5%8D%87%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%88%97.html
视频讲解：
题目分析
方案一
以前都是盯着dp数组的前几位看，大于前几位就没问题了。
这种问题需要盯着前面所有的dp位置看，然后取最大值！！
本题的进阶将时间复杂度降低为 O( n log(n) )的方法请见官方题解： https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/solutions/147667/zui-chang-shang-sheng-zi-xu-lie-by-leetcode-soluti/ 其中的方法二：贪心 + 二分查找 部分
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| class Solution {
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
int[] dp = new int[nums.length];
dp[0] = 1;
int temp = 1;
int Max = 1;
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
temp = 1;
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
temp = Math.max(temp, dp[j] + 1);
}
}
dp[i] = temp;
if (temp > Max) Max = temp;
}
return Max;
}
}
|
结果
解答成功:
执行耗时:53 ms,击败了79.45% 的Java用户
内存消耗:41.7 MB,击败了88.89% 的Java用户
分析
时间复杂度：
O( n ^ 2 )
空间复杂度：
O( n )
代码随想录
https://programmercarl.com/0300.%E6%9C%80%E9%95%BF%E4%B8%8A%E5%8D%87%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%88%97.html
思路
首先通过本题大家要明确什么是子序列，“子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序”。
本题也是代码随想录中子序列问题的第一题，如果没接触过这种题目的话，本题还是很难的，甚至想暴力去搜索也不知道怎么搜。 子序列问题是动态规划解决的经典问题，当前下标i的递增子序列长度，其实和i之前的下表j的子序列长度有关系，那又是什么样的关系呢。
接下来，我们依然用动规五部曲来详细分析一波：
- dp[i]的定义
本题中，正确定义dp数组的含义十分重要。
dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度
为什么一定表示 “以nums[i]结尾的最长递增子序” ，因为我们在 做 递增比较的时候，如果比较 nums[j] 和 nums[i] 的大小，那么两个递增子序列一定分别以nums[j]为结尾 和 nums[i]为结尾， 要不然这个比较就没有意义了，不是尾部元素的比较那么 如何算递增呢。
- 状态转移方程
位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。
所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。
- dp[i]的初始化
每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.
- 确定遍历顺序
dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。
遍历i的循环在外层，遍历j则在内层，代码如下：
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| for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
if (dp[i] > result) result = dp[i];
}
|
- 举例推导dp数组
输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：
如果代码写出来，但一直AC不了，那么就把dp数组打印出来，看看对不对！
以上五部分析完毕，C++代码如下：
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| class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
if (nums.size() <= 1) return nums.size();
vector<int> dp(nums.size(), 1);
int result = 0;
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
if (dp[i] > result) result = dp[i];
}
return result;
}
};
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- 时间复杂度: O(n^2)
- 空间复杂度: O(n)
总结
本题最关键的是要想到dp[i]由哪些状态可以推出来，并取最大值，那么很自然就能想到递推公式：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
子序列问题是动态规划的一个重要系列，本题算是入门题目，好戏刚刚开始！
代码实现
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| class Solution {
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
int[] dp = new int[nums.length];
Arrays.fill(dp, 1);
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
}
int res = 0;
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;
}
}
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674. 最长连续递增序列※
建议：
题目链接： https://leetcode.cn/problems/longest-continuous-increasing-subsequence/
文章讲解： https://programmercarl.com/0674.%E6%9C%80%E9%95%BF%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E9%80%92%E5%A2%9E%E5%BA%8F%E5%88%97.html
视频讲解：
题目分析
方案一：贪心
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| class Solution {
public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
int result = 1, temp = 1;
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
if (nums[i - 1] < nums[i]) {
temp++;
result = Math.max(result, temp);
}
else {
temp = 1;
}
}
return result;
}
}
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结果
解答成功:
执行耗时:1 ms,击败了98.12% 的Java用户
内存消耗:42 MB,击败了61.33% 的Java用户
分析
时间复杂度：
O( n )
空间复杂度：
O( 1 )
方案二：动态规划
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| class Solution {
public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
int[] dp = new int[nums.length];
int result = 1;
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
if (nums[i] > nums[i - 1]) {
dp[i] = dp[i - 1] + 1;
if (dp[i] > result) result = dp[i];
} else dp[i] = 1;
}
return result;
}
}
|
结果
解答成功:
执行耗时:1 ms,击败了98.12% 的Java用户
内存消耗:42.1 MB,击败了40.93% 的Java用户
分析
时间复杂度：
O( n )
空间复杂度：
O( n )
代码随想录
https://programmercarl.com/0674.%E6%9C%80%E9%95%BF%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E9%80%92%E5%A2%9E%E5%BA%8F%E5%88%97.html
思路
本题相对于 300.最长递增子序列 最大的区别在于“连续”。
本题要求的是最长连续递增序列
动态规划
动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
**dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]**。
注意这里的定义，一定是以下标i为结尾，并不是说一定以下标0为起始位置。
- 确定递推公式
如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。
即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;
注意这里就体现出和 300.最长递增子序列 的区别！
因为本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。
既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i - 1]。
这里大家要好好体会一下！
- dp数组如何初始化
以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。
所以dp[i]应该初始1;
- 确定遍历顺序
从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。
本文在确定递推公式的时候也说明了为什么本题只需要一层for循环，代码如下：
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| for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
if (nums[i] > nums[i - 1]) {
dp[i] = dp[i - 1] + 1;
}
}
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- 举例推导dp数组
已输入nums = [1,3,5,4,7]为例，dp数组状态如下：
注意这里要取dp[i]里的最大值，所以dp[2]才是结果！
以上分析完毕，C++代码如下：
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| class Solution {
public:
int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
if (nums.size() == 0) return 0;
int result = 1;
vector<int> dp(nums.size() ,1);
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
if (nums[i] > nums[i - 1]) {
dp[i] = dp[i - 1] + 1;
}
if (dp[i] > result) result = dp[i];
}
return result;
}
};
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贪心
这道题目也可以用贪心来做，也就是遇到nums[i] > nums[i - 1]的情况，count就++，否则count为1，记录count的最大值就可以了。
代码如下：
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| class Solution {
public:
int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
if (nums.size() == 0) return 0;
int result = 1;
int count = 1;
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
if (nums[i] > nums[i - 1]) {
count++;
} else {
count = 1;
}
if (count > result) result = count;
}
return result;
}
};
|
总结
本题也是动规里子序列问题的经典题目，但也可以用贪心来做，大家也会发现贪心好像更简单一点，而且空间复杂度仅是O(1)。
在动规分析中，关键是要理解和 300.最长递增子序列 的区别。
要联动起来，才能理解递增子序列怎么求，递增连续子序列又要怎么求。
概括来说：不连续递增子序列的跟前 0-i 个状态有关，连续递增的子序列只跟前一个状态有关
本篇我也把区别所在之处重点介绍了，关键在递推公式和遍历方法上！
代码实现
动态规划：
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public static int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
int[] dp = new int[nums.length];
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
dp[i] = 1;
}
int res = 1;
for (int i = 0; i < nums.length - 1; i++) {
if (nums[i + 1] > nums[i]) {
dp[i + 1] = dp[i] + 1;
}
res = res > dp[i + 1] ? res : dp[i + 1];
}
return res;
}
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贪心法：
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| public static int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
if (nums.length == 0) return 0;
int res = 1;
int count = 1;
for (int i = 0; i < nums.length - 1; i++) {
if (nums[i + 1] > nums[i]) {
count++;
} else {
count = 1;
}
if (count > res) res = count;
}
return res;
}
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718. 最长重复子数组※
建议：
题目链接： https://leetcode.cn/problems/maximum-length-of-repeated-subarray/
文章讲解： https://programmercarl.com/0718.%E6%9C%80%E9%95%BF%E9%87%8D%E5%A4%8D%E5%AD%90%E6%95%B0%E7%BB%84.html
视频讲解：
题目分析
方案一
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| class Solution {
public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
int[] dp = new int[nums1.length + 1];
int result = 0;
for (int i = 0; i < nums2.length; i++) {
for (int j = nums1.length - 1; j >= 0; j--) {
if (nums2[i] == nums1[j]) {
dp[j + 1] = dp[j] + 1;
result = Math.max(result, dp[j + 1]);
} else dp[j + 1] = 0;
}
}
return result;
}
}
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结果
解答成功:
执行耗时:19 ms,击败了99.17% 的Java用户
内存消耗:41.8 MB,击败了92.69% 的Java用户
分析
时间复杂度：
O( n ^ 2 )
空间复杂度：
O( n )
代码随想录
https://programmercarl.com/0718.%E6%9C%80%E9%95%BF%E9%87%8D%E5%A4%8D%E5%AD%90%E6%95%B0%E7%BB%84.html
思路
注意题目中说的子数组，其实就是连续子序列。
要求两个数组中最长重复子数组，如果是暴力的解法 只需要先两层for循环确定两个数组起始位置，然后再来一个循环可以是for或者while，来从两个起始位置开始比较，取得重复子数组的长度。
本题其实是动规解决的经典题目，我们只要想到 用二维数组可以记录两个字符串的所有比较情况，这样就比较好推 递推公式了。 动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）
此时细心的同学应该发现，那dp[0][0]是什么含义呢？总不能是以下标-1为结尾的A数组吧。
其实dp[i][j]的定义也就决定着，我们在遍历dp[i][j]的时候i 和 j都要从1开始。
那有同学问了，我就定义dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度。不行么？
行倒是行！ 但实现起来就麻烦一点，需要单独处理初始化部分，在本题解下面的拓展内容里，我给出了 第二种 dp数组的定义方式所对应的代码和讲解，大家比较一下就了解了。
- 确定递推公式
根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。
即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！
- dp数组如何初始化
根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！
但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。
举个例子A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。
- 确定遍历顺序
外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。
那又有同学问了，外层for循环遍历B，内层for循环遍历A。不行么？
也行，一样的，我这里就用外层for循环遍历A，内层for循环遍历B了。
同时题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。
代码如下：
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| for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
}
}
|
- 举例推导dp数组
拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：
以上五部曲分析完毕，C++代码如下：
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class Solution {
public:
int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
vector<vector<int>> dp (nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));
int result = 0;
for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
}
}
return result;
}
};
|
- 时间复杂度：O(n × m)，n 为A长度，m为B长度
- 空间复杂度：O(n × m)
滚动数组
在如下图中：
我们可以看出dp[i][j]都是由dp[i - 1][j - 1]推出。那么压缩为一维数组，也就是dp[j]都是由dp[j - 1]推出。
也就是相当于可以把上一层dp[i - 1][j]拷贝到下一层dp[i][j]来继续用。
此时遍历B数组的时候，就要从后向前遍历，这样避免重复覆盖。
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class Solution {
public:
int findLength(vector<int>& A, vector<int>& B) {
vector<int> dp(vector<int>(B.size() + 1, 0));
int result = 0;
for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
for (int j = B.size(); j > 0; j--) {
if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
dp[j] = dp[j - 1] + 1;
} else dp[j] = 0;
if (dp[j] > result) result = dp[j];
}
}
return result;
}
};
|
- 时间复杂度：$O(n × m)$，n 为A长度，m为B长度
- 空间复杂度：$O(m)$
拓展
前面讲了 dp数组为什么定义：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。
我就定义dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度。不行么？
当然可以，就是实现起来麻烦一些。
如果定义 dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，那么 第一行和第一列毕竟要进行初始化，如果nums1[i] 与 nums2[0] 相同的话，对应的 dp[i][0]就要初始为1， 因为此时最长重复子数组为1。 nums2[j] 与 nums1[0]相同的话，同理。
所以代码如下：
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class Solution {
public:
int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
vector<vector<int>> dp (nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));
int result = 0;
for (int i = 0; i < nums1.size(); i++) if (nums1[i] == nums2[0]) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < nums2.size(); j++) if (nums1[0] == nums2[j]) dp[0][j] = 1;
for (int i = 0; i < nums1.size(); i++) {
for (int j = 0; j < nums2.size(); j++) {
if (nums1[i] == nums2[j] && i > 0 && j > 0) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
}
}
return result;
}
};
|
大家会发现 这种写法 一定要多写一段初始化的过程。
而且为了让 if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j]; 收集到全部结果，两层for训练一定从0开始遍历，这样需要加上 && i > 0 && j > 0的判断。
对于基础不牢的小白来说，在推导出转移方程后可能疑惑上述代码为什么要从i=0,j=0遍历而不是从i=1,j=1开始遍历，原因在于这里如果不是从i=0,j=0位置开始遍历，会漏掉如下样例结果：
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| nums1 = [70,39,25,40,7]
nums2 = [52,20,67,5,31]
|
当然，如果你愿意也可以使用如下代码，与上面那个c++是同一思路：
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| class Solution {
public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
int len1 = nums1.length;
int len2 = nums2.length;
int[][] result = new int[len1][len2];
int maxresult = Integer.MIN_VALUE;
for(int i=0;i<len1;i++){
if(nums1[i] == nums2[0])
result[i][0] = 1;
if(maxresult<result[i][0])
maxresult = result[i][0];
}
for(int j=0;j<len2;j++){
if(nums1[0] == nums2[j])
result[0][j] = 1;
if(maxresult<result[0][j])
maxresult = result[0][j];
}
for(int i=1;i<len1;i++){
for(int j=1;j<len2;j++){
if(nums1[i]==nums2[j])
result[i][j] = result[i-1][j-1]+1;
if(maxresult<result[i][j])
maxresult = result[i][j];
}
}
return maxresult;
}
}
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对于小白来说一定要明确dp数组中初始化的数据是什么
整体而言相对于版本一来说还是多写了不少代码。而且逻辑上也复杂了一些。 优势就是dp数组的定义，更直观一点。
代码实现
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class Solution {
public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
int result = 0;
int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];
for (int i = 1; i < nums1.length + 1; i++) {
for (int j = 1; j < nums2.length + 1; j++) {
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
result = Math.max(result, dp[i][j]);
}
}
}
return result;
}
}
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class Solution {
public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
int[] dp = new int[nums2.length + 1];
int result = 0;
for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
for (int j = nums2.length; j > 0; j--) {
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
dp[j] = dp[j - 1] + 1;
} else {
dp[j] = 0;
}
result = Math.max(result, dp[j]);
}
}
return result;
}
}
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