本节内容

1. 买卖股票的最佳时机
122.买卖股票的最佳时机II

121. 买卖股票的最佳时机※

建议：

题目链接： https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/
文章讲解： https://programmercarl.com/0121.%E4%B9%B0%E5%8D%96%E8%82%A1%E7%A5%A8%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E6%9C%BA.html
视频讲解：

题目分析

方案一：暴力求解

暴力求解似乎可以解决此问题，时间复杂度较高为 n ^ 2 。此方案也不是做本题的本意，先做一下吧。

class Solution {  
    public int maxProfit(int[] prices) {  
        int max = 0;  
        for (int i = 0; i < prices.length - 1; i++) {  
            for (int j = i + 1; j < prices.length; j++) {  
                if (prices[j] - prices[i] > max) max = prices[j] - prices[i];  
            }  
        }  
        return max;  
    }  
}

结果

运行失败:
Time Limit Exceeded

分析

时间复杂度：
O( n ^ 2 )

空间复杂度：
O( 1 )

方案二：动态规划

计算今天和昨天的股票差异数值，并加上以前赚的，如果大于0，则代表本天赚的，负责赋值为0。

使用一个max变量，记录曾经遇到过的最大值。

class Solution {  
    public int maxProfit(int[] prices) {  

        int[] dp = new int[prices.length];  
        dp[0] = 0;  
        int temp, max = 0;  
  
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {  
            temp = dp[i - 1] + prices[i] -prices[i- 1];  
            dp[i] = temp > 0 ? temp : 0;  
            if (dp[i] > max) max = dp[i];  
        }  
        return max;  
    }  
}

结果

解答成功:
执行耗时:4 ms,击败了28.85% 的Java用户
内存消耗:55.3 MB,击败了94.19% 的Java用户

分析

时间复杂度：
O( n )

空间复杂度：
O( n )

DP数组的空间复杂度还可以再优化一下，这里就不在编写相关代码。

方案三：动态规划

按照官方题解重写编写的相关程序

class Solution {  
    public int maxProfit(int[] prices) {  
    
        // 动态规划  
        int[][] dp = new int[prices.length][2]; // [i][0]：代表第i天持有股票的金额； [i][1]：代表第i天不持有股票的金额  
        dp[0][0] = -1 * prices[0];  
        dp[0][1] = 0;  
  
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {  
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -1 * prices[i]);  
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);  
  
//            System.out.println(dp[i][0] + "====" + dp[i][1]);  
        }  
        return dp[prices.length - 1][1];  
    }  
}

结果

解答成功:
执行耗时:23 ms,击败了18.19% 的Java用户
内存消耗:56.7 MB,击败了78.32% 的Java用户

分析

时间复杂度：
O( n )

空间复杂度：
O( n )

代码随想录

https://programmercarl.com/0121.%E4%B9%B0%E5%8D%96%E8%82%A1%E7%A5%A8%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E6%9C%BA.html

暴力

这道题目最直观的想法，就是暴力，找最优间距了。

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int result = 0;
        for (int i = 0; i < prices.size(); i++) {
            for (int j = i + 1; j < prices.size(); j++){
                result = max(result, prices[j] - prices[i]);
            }
        }
        return result;
    }
};

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(1)

当然该方法超时了

贪心

因为股票就买卖一次，那么贪心的想法很自然就是取最左最小值，取最右最大值，那么得到的差值就是最大利润。

C++代码如下：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int low = INT_MAX;
        int result = 0;
        for (int i = 0; i < prices.size(); i++) {
            low = min(low, prices[i]);  // 取最左最小价格
            result = max(result, prices[i] - low); // 直接取最大区间利润
        }
        return result;
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

动态规划

动规五部曲分析如下：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金，这里可能有同学疑惑，本题中只能买卖一次，持有股票之后哪还有现金呢？

其实一开始现金是0，那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i]，这是一个负数。

dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

注意这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态

很多同学把“持有”和“买入”没区分清楚。

在下面递推公式分析中，我会进一步讲解。

确定递推公式

如果第i天持有股票即dp[i][0]，那么可以由两个状态推出来

第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金即：dp[i - 1][0]
第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]

那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);

如果第i天不持有股票即dp[i][1]，也可以由两个状态推出来

第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金即：dp[i - 1][1]
第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

这样递推公式我们就分析完了

dp数组如何初始化

由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。

那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] -= prices[0];

dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0;

确定遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是由dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。

举例推导dp数组

以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：

dp[5][1]就是最终结果。

为什么不是dp[5][0]呢？

因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！

以上分析完毕，C++代码如下：

// 版本一
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        if (len == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2));
        dp[0][0] -= prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
        }
        return dp[len - 1][1];
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

从递推公式可以看出，dp[i]只是依赖于dp[i - 1]的状态。

1 2	`dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);`

那么我们只需要记录当前天的dp状态和前一天的dp状态就可以了，可以使用滚动数组来节省空间，代码如下：

// 版本二
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2)); // 注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组
        dp[0][0] -= prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], -prices[i]);
            dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]);
        }
        return dp[(len - 1) % 2][1];
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

这里能写出版本一就可以了，版本二虽然原理都一样，但是想直接写出版本二还是有点麻烦，容易自己给自己找bug。

所以建议是先写出版本一，然后在版本一的基础上优化成版本二，而不是直接就写出版本二。

代码实现

贪心法：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        // 找到一个最小的购入点
        int low = Integer.MAX_VALUE;
        // res不断更新，直到数组循环完毕
        int res = 0;
        for(int i = 0; i < prices.length; i++){
            low = Math.min(prices[i], low);
            res = Math.max(prices[i] - low, res);
        }
        return res;
    }
}

动态规划：版本一

// 解法1
class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) return 0;
        int length = prices.length;
        // dp[i][0]代表第i天持有股票的最大收益
        // dp[i][1]代表第i天不持有股票的最大收益
        int[][] dp = new int[length][2];
        int result = 0;
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);
        }
        return dp[length - 1][1];
    }
}

动态规划：版本二(使用二維數組（和卡哥思路一致），下面還有使用一維滾動數組的更優化版本)

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int len = prices.length;
        int dp[][] = new int[2][2];
        
        dp[0][0] = - prices[0];
        dp[0][1] = 0;

        for (int i = 1; i < len; i++){
            dp[i % 2][0] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][0], - prices[i]);
            dp[i % 2][1] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]);
        }
        return dp[(len - 1) % 2][1];
    }
}

动态规划：版本二(使用一維數組)

class Solution {
  public int maxProfit(int[] prices) {
    int[] dp = new int[2];
    // 记录一次交易，一次交易有买入卖出两种状态
    // 0代表持有，1代表卖出
    dp[0] = -prices[0];
    dp[1] = 0;
    // 可以参考斐波那契问题的优化方式
    // 我们从 i=1 开始遍历数组，一共有 prices.length 天，
    // 所以是 i<=prices.length
    for (int i = 1; i <= prices.length; i++) {
      // 前一天持有；或当天买入
      dp[0] = Math.max(dp[0], -prices[i - 1]);
      // 如果 dp[0] 被更新，那么 dp[1] 肯定会被更新为正数的 dp[1]
      // 而不是 dp[0]+prices[i-1]==0 的0，
      // 所以这里使用会改变的dp[0]也是可以的
      // 当然 dp[1] 初始值为 0 ，被更新成 0 也没影响
      // 前一天卖出；或当天卖出, 当天要卖出，得前一天持有才行
      dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1]);
    }
    return dp[1];
  }
}

122.买卖股票的最佳时机II※

建议：

题目链接： https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii/
文章讲解： https://programmercarl.com/0122.%E4%B9%B0%E5%8D%96%E8%82%A1%E7%A5%A8%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E6%9C%BAII%EF%BC%88%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%EF%BC%89.html
视频讲解：

题目分析

方案一

本题曾经做过一次，具体请看下方链接。
https://www.yuanql.top/2023/08/12/02_1_%E4%BB%A3%E7%A0%81%E9%9A%8F%E6%83%B3%E5%BD%95%E7%AE%97%E6%B3%95%E8%AE%AD%E7%BB%83%E8%90%A518%E6%9C%9F/29%E3%80%81%E7%AC%AC%E5%85%AB%E7%AB%A0%20%E8%B4%AA%E5%BF%83%E7%AE%97%E6%B3%95%20part02/#122-%E4%B9%B0%E5%8D%96%E8%82%A1%E7%A5%A8%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E6%9C%BAII%E2%80%BB

class Solution {  
    public int maxProfit(int[] prices) {  
        // 动态规划  
        int dp = 0;
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            dp = Math.max(dp, dp + prices[i] - prices[i - 1]);
        }
        return dp;
    }  
}

结果

解答成功:
执行耗时:1 ms,击败了70.51% 的Java用户
内存消耗:43.3 MB,击败了23.85% 的Java用户

分析

时间复杂度：
O( n )

空间复杂度：
O( 1 )

代码随想录

https://programmercarl.com/0122.%E4%B9%B0%E5%8D%96%E8%82%A1%E7%A5%A8%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E6%9C%BAII%EF%BC%88%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%EF%BC%89.html

思路

本题我们在讲解贪心专题的时候就已经讲解过了贪心算法：买卖股票的最佳时机II ，只不过没有深入讲解动态规划的解法，那么这次我们再好好分析一下动规的解法。

本题和 121. 买卖股票的最佳时机 的唯一区别是本题股票可以买卖多次了（注意只有一只股票，所以再次购买前要出售掉之前的股票）

在动规五部曲中，这个区别主要是体现在递推公式上，其他都和 121. 买卖股票的最佳时机一样一样的。

所以我们重点讲一讲递推公式。

这里重申一下dp数组的含义：

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dp[i][0]，那么可以由两个状态推出来

第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金即：dp[i - 1][0]
第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去今天的股票价格即：dp[i - 1][1] - prices[i]

注意这里和 121. 买卖股票的最佳时机唯一不同的地方，就是推导dp[i][0]的时候，第i天买入股票的情况。
在 121. 买卖股票的最佳时机 中，因为股票全程只能买卖一次，所以如果买入股票，那么第i天持有股票即dp[i][0]一定就是 -prices[i]。

而本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。

那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去今天的股票价格即：dp[i - 1][1] - prices[i]。

再来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况，依然可以由两个状态推出来

第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金即：dp[i - 1][1]
第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

注意这里和 121. 买卖股票的最佳时机就是一样的逻辑，卖出股票收获利润（可能是负值）天经地义！

代码如下：（注意代码中的注释，标记了和121.买卖股票的最佳时机唯一不同的地方）

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2, 0));
        dp[0][0] -= prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); // 注意这里是和121. 买卖股票的最佳时机唯一不同的地方。
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
        }
        return dp[len - 1][1];
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

大家可以本题和 121. 买卖股票的最佳时机 的代码几乎一样，唯一的区别在：

1	`dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);`

这正是因为本题的股票可以买卖多次！ 所以买入股票的时候，可能会有之前买卖的利润即：dp[i - 1][1]，所以dp[i - 1][1] - prices[i]。

想到到这一点，对这两道题理解的就比较深刻了。

这里我依然给出滚动数组的版本，C++代码如下：

// 版本二
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2)); // 注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组
        dp[0][0] -= prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], dp[(i - 1) % 2][1] - prices[i]);
            dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]);
        }
        return dp[(len - 1) % 2][1];
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

代码实现

// 动态规划
class Solution 
    // 实现1：二维数组存储
    // 可以将每天持有与否的情况分别用 dp[i][0] 和 dp[i][1] 来进行存储
    // 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n][2];     // 创建二维数组存储状态
        dp[0][0] = 0;                   // 初始状态
        dp[0][1] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);    // 第 i 天，没有股票
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);    // 第 i 天，持有股票
        }
        return dp[n - 1][0];    // 卖出股票收益高于持有股票收益，因此取[0]
    }
}

//DP using 2*2 Array (下方還有使用一維滾動數組的更優化版本)
class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int dp[][] = new int [2][2];
        //dp[i][0]: holding the stock
        //dp[i][1]: not holding the stock
        dp[0][0] = - prices[0];
        dp[0][1] = 0;

        for(int i = 1; i < prices.length; i++){
            dp[i % 2][0] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][0], dp[(i - 1) % 2][1] - prices[i]);
            dp[i % 2][1] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][1], dp[(i - 1) % 2][0] + prices[i]);
        }
        return dp[(prices.length - 1) % 2][1];
    }
}

// 优化空间
class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int[] dp = new int[2];
        // 0表示持有，1表示卖出
        dp[0] = -prices[0];
        dp[1] = 0;
        for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
            // 前一天持有; 既然不限制交易次数，那么再次买股票时，要加上之前的收益
            dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] - prices[i-1]);
            // 前一天卖出; 或当天卖出，当天卖出，得先持有
            dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i-1]);
        }
        return dp[1];
    }
}

02_1_代码随想录算法训练营18期

#LeetCode #算法训练营

43、第九章动态规划part10

http://yuanql.top/2023/08/18/02_1_代码随想录算法训练营18期/43、第九章动态规划part10/

作者

Qingli Yuan

发布于

2023年8月18日

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43、第九章 动态规划part10

本节内容

121. 买卖股票的最佳时机※

题目分析

方案一：暴力求解

结果

分析

方案二：动态规划

结果

分析

方案三：动态规划

结果

分析

代码随想录

暴力

贪心

动态规划

代码实现

122.买卖股票的最佳时机II※

题目分析

方案一

结果

分析

代码随想录

思路

代码实现

43、第九章动态规划part10