39、第九章 动态规划part06

本节内容

• 完全背包理论基础
• 518.零钱兑换II
• 377. 组合总和 Ⅳ

完全背包理论基础※

https://programmercarl.com/%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%90%86%E8%AE%BA%E5%9F%BA%E7%A1%80%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%83%8C%E5%8C%85.html#%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%85%AC%E5%BC%80%E8%AF%BE

完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weigh[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

同样leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题。

518.零钱兑换II※

建议：

题目链接： https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/
文章讲解： https://programmercarl.com/0518.%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2II.html
视频讲解：

题目分析

方案一

太菜了，太菜了，他确实和 494.目标和几乎一模一样。只不过是01背包和完全背包之间的区别。但是我没看题解，想起来了dp但没想到递推公式，还是对dp数组的定义不熟悉！！！

class Solution {  
    public int change(int amount, int[] coins) {  
        int[] dp = new int[amount + 1];  
        dp[0] = 1;  
  
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {  
            for (int j = coins[i]; j < amount + 1; j++) {  
                dp[j] += dp[j - coins[i]];  
            }  
        }  
  
        return dp[amount];  
    }  
}

结果

解答成功:
执行耗时:2 ms,击败了99.12% 的Java用户
内存消耗:38.9 MB,击败了56.48% 的Java用户

分析

时间复杂度：
O( n * amount )

空间复杂度：
O( amount )

代码随想录

https://programmercarl.com/0518.%E9%9B%B6%E9%92%B1%E5%85%91%E6%8D%A2II.html

思路

这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。

但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！

注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数，为什么强调是组合数呢？

例如示例一：

5 = 2 + 2 + 1

5 = 2 + 1 + 2

这是一种组合，都是 2 2 1。

如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。

组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。 其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过了哈。

那我为什么要介绍这些呢，因为这和下文讲解遍历顺序息息相关!

回归本题，动规五步曲来分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

2. 确定递推公式

dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。

所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];

3. dp数组如何初始化

首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。

那么 dp[0] = 1 有没有含义，其实既可以说 凑成总金额0的货币组合数为1，也可以说 凑成总金额0的货币组合数为0，好像都没有毛病。

但题目描述中，也没明确说 amount = 0 的情况，结果应该是多少。

这里我认为题目描述还是要说明一下，因为后台测试数据是默认，amount = 0 的情况，组合数为1的。

下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]

dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。

4. 确定遍历顺序

本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？

纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！

而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。

所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。

本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。

那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。

我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。

代码如下：

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。

那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！

如果把两个for交换顺序，代码如下：

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

此时dp[j]里算出来的就是排列数！

可能这里很多同学还不是很理解，建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来，对比看一看！（实践出真知）

5. 举例推导dp数组

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：

最后红色框dp[amount]为最终结果。

以上分析完毕，C++代码如下：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

• 时间复杂度: O(mn)，其中 m 是amount，n 是 coins 的长度
• 空间复杂度: O(m)

总结

在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

代码实现

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        //递推表达式
        int[] dp = new int[amount + 1];
        //初始化dp数组，表示金额为0时只有一种情况，也就是什么都不装
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}

// 二维dp数组版本，方便理解
class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[][] dp = new int[coins.length][amount + 1];
        // 只有一种硬币的情况
        for (int i = 0; i <= amount; i += coins[0]) {
            dp[0][i] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < coins.length; i++) {
            for (int j = 0; j <= amount; j++) {
                // 第i种硬币使用0~k次，求和
                for (int k = 0; k * coins[i] <= j; k++) {
                    dp[i][j] += dp[i - 1][j - k * coins[i]];
                }
            }
        }
        return dp[coins.length - 1][amount];
    }
}

377. 组合总和 Ⅳ※

建议：

题目链接： https://leetcode.cn/problems/combination-sum-iv/
文章讲解： https://programmercarl.com/0377.%E7%BB%84%E5%90%88%E6%80%BB%E5%92%8C%E2%85%A3.html
视频讲解：

题目分析

方案一

蒙出来了，说句实话，没想明白。

class Solution {  
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {  
        int[] dp = new int[target + 1];  
  
        dp[0] = 1;  
  
        for (int i = 0; i <= target; i++) {  
            for (int j = 0; j < nums.length; j++) {  
                if (i - nums[j] >= 0) dp[i] += dp[i - nums[j]];  
            }  
        }  
        return dp[target];  
    }  
}

结果

解答成功:
执行耗时:1 ms,击败了98.28% 的Java用户
内存消耗:38.5 MB,击败了93.16% 的Java用户

分析

时间复杂度：
O( target * n )

空间复杂度：
O( target )

代码随想录

https://programmercarl.com/0377.%E7%BB%84%E5%90%88%E6%80%BB%E5%92%8C%E2%85%A3.html

思路

本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列！

弄清什么是组合，什么是排列很重要。

组合不强调顺序，(1,5)和(5,1)是同一个组合。

排列强调顺序，(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。

其本质是本题求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数，并不是把所有的排列都列出来。

如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]

2. 确定递推公式

dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]） 推导出来。

因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分。

求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本题也一样。

3. dp数组如何初始化

因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。

至于dp[0] = 1 有没有意义呢？

其实没有意义，所以我也不去强行解释它的意义了，因为题目中也说了：给定目标值是正整数！ 所以dp[0] = 1是没有意义的，仅仅是为了推导递推公式。

至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢？

初始化为0，这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]。

4. 确定遍历顺序

个数可以不限使用，说明这是一个完全背包。

得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序。

本题要求的是排列，那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！

所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

5. 举例来推导dp数组

我们再来用示例中的例子推导一下：

如果代码运行处的结果不是想要的结果，就把dp[i]都打出来，看看和我们推导的一不一样。

以上分析完毕，C++代码如下：

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品
                if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

• 时间复杂度: O(target * n)，其中 n 为 nums 的长度
• 空间复杂度: O(target)

C++测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。

但java就不用考虑这个限制，java里的int也是四个字节吧，也有可能leetcode后台对不同语言的测试数据不一样。

总结

求装满背包有几种方法，递归公式都是一样的，没有什么差别，但关键在于遍历顺序！

本题与 518.零钱兑换II  就是一个鲜明的对比，一个是求排列，一个是求组合，遍历顺序完全不同。

如果对遍历顺序没有深度理解的话，做这种完全背包的题目会很懵逼，即使题目刷过了可能也不太清楚具体是怎么过的。

代码实现

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) {
            for (int j = 0; j < nums.length; j++) {
                if (i >= nums[j]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
}