38、第九章 动态规划part05

本节内容

  • 1049.最后一块石头的重量II
  • 494.目标和
  • 474.一和零

1049.最后一块石头的重量II※

建议：

题目链接： https://leetcode.cn/problems/last-stone-weight-ii/
文章讲解： https://programmercarl.com/1049.%E6%9C%80%E5%90%8E%E4%B8%80%E5%9D%97%E7%9F%B3%E5%A4%B4%E7%9A%84%E9%87%8D%E9%87%8FII.html
视频讲解： https://www.bilibili.com/video/BV14M411C7oV/

题目分析


方案一

本题的解题关键是：将这一堆石头可能的分成两堆，分成重量最相近时候的两堆，然后拿着两堆石头相撞，剩下的就是最小的最后一块石头的重量了。

所以说此问题就转变为与 416. 分割等和子集 问题了，尽可能的将石头分割好，以此来解决此问题。

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class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        int sum = Arrays.stream(stones).sum();
        int mind = sum / 2;
        int[] dp = new int[mind + 1];

        for (int i = stones[0]; i < mind + 1; i++) {
            dp[i] = stones[0];
        }

        for (int i = 1; i < stones.length; i++) {
            for (int j = mind; j >= stones[i]; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]]  + stones[i]);
            }
        }

        return sum - 2 * dp[mind];
    }
}

结果

解答成功:
执行耗时:3 ms,击败了43.54% 的Java用户
内存消耗:38.9 MB,击败了65.85% 的Java用户

分析

时间复杂度：
O( n * sum( stones ) )

空间复杂度：
O( sum( stones ) )

代码随想录

https://programmercarl.com/1049.%E6%9C%80%E5%90%8E%E4%B8%80%E5%9D%97%E7%9F%B3%E5%A4%B4%E7%9A%84%E9%87%8D%E9%87%8FII.html

思路

本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。

本题物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]。

对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。

接下来进行动规五步曲：

  1. 确定dp数组以及下标的含义

**dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]**。

可以回忆一下01背包中，dp[j]的含义，容量为j的背包，最多可以装的价值为 dp[j]。

相对于 01背包，本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] ，可以 “最多可以装的价值为 dp[j]” == “最多可以背的重量为dp[j]”

  1. 确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

一些同学可能看到这dp[j - stones[i]] + stones[i]中 又有- stones[i] 又有+stones[i]，看着有点晕乎。

大家可以再去看 dp[j]的含义。

  1. dp数组如何初始化

既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和。

因为提示中给出1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 1000，所以最大重量就是30 * 1000 。

而我们要求的target其实只是最大重量的一半，所以dp数组开到15000大小就可以了。

当然也可以把石头遍历一遍，计算出石头总重量 然后除2，得到dp数组的大小。

此处就直接用15000了。

接下来就是如何初始化dp[j]呢，因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]); 中dp[j]才不会初始值所覆盖。

代码为：

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vector<int> dp(15001, 0);
  1. 确定遍历顺序

如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

代码如下：

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for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
    }
}

  1. 举例推导dp数组

举例，输入：[2,4,1,1]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，dp数组状态图如下：

最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。

那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。

在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。

那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。

以上分析完毕，C++代码如下：

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class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        vector<int> dp(15001, 0);
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) sum += stones[i];
        int target = sum / 2;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - dp[target] - dp[target];
    }
};

  • 时间复杂度：O(m × n) , m是石头总重量（准确的说是总重量的一半），n为石头块数
  • 空间复杂度：O(m)

代码实现

二维数组版本（便于理解）

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class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        int sum = 0;
        for (int s : stones) {
            sum += s;
        }

        int target = sum / 2;
        //初始化，dp[i][j]为可以放0-i物品，背包容量为j的情况下背包中的最大价值
        int[][] dp = new int[stones.length][target + 1];
        //dp[i][0]默认初始化为0
        //dp[0][j]取决于stones[0]
        for (int j = stones[0]; j <= target; j++) {
            dp[0][j] = stones[0];
        }

        for (int i = 1; i < stones.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= target; j++) {//注意是等于
                if (j >= stones[i]) {
                    //不放:dp[i - 1][j] 放:dp[i - 1][j - stones[i]] + stones[i]
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - stones[i]] + stones[i]);
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }

        System.out.println(dp[stones.length - 1][target]);
        return (sum - dp[stones.length - 1][target]) - dp[stones.length - 1][target];
    }
}
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class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        int sum = 0;
        for (int i : stones) {
            sum += i;
        }
        int target = sum >> 1;
        //初始化dp数组
        int[] dp = new int[target + 1];
        for (int i = 0; i < stones.length; i++) {
            //采用倒序
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) {
                //两种情况，要么放，要么不放
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - 2 * dp[target];
    }
}

494.目标和※

建议：

题目链接： https://leetcode.cn/problems/target-sum/
文章讲解： https://programmercarl.com/0494.%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%92%8C.html
视频讲解： https://www.bilibili.com/video/BV1o8411j73x/

题目分析


方案一：回溯

简单粗暴，比较容易想到。

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class Solution {

    private int result = 0;
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        backtracking(nums, target, 0, 0);
        return result;
    }

    private void backtracking(int[] nums, int target, int start, int sum) {
        if (nums.length == start) {
            if (target == sum) result++;
            return;
        }

        backtracking(nums, target, start + 1, sum + nums[start]);
        backtracking(nums, target, start + 1, sum - nums[start]);
    }
}

结果

解答成功:
执行耗时:513 ms,击败了22.50% 的Java用户
内存消耗:38.8 MB,击败了98.60% 的Java用户

分析

时间复杂度：
O( 2 ^ n )

空间复杂度：
O( 1 )

方案二：动态规划

太难想到其可以和 01背包 问题打上交道，还需要积累经验。

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class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {


        int sum = Arrays.stream(nums).sum();

        if ((sum + target) % 2 == 1 || sum < -target) return 0;
        int flag = Math.abs((sum + target) / 2);

        int[] dp = new int[flag + 1];

        dp[0] = 1;

        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            for (int j = flag; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[ ]];
            }
        }
        return dp[flag];
    }
}

结果

解答成功:
执行耗时:3 ms,击败了64.63% 的Java用户
内存消耗:39.1 MB,击败了69.44% 的Java用户

分析

时间复杂度：
O( n × m )

空间复杂度：
O( m )

代码随想录

https://programmercarl.com/0494.%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%92%8C.html

思路

这道题目咋眼一看和动态规划背包啥的也没啥关系。

本题要如何使表达式结果为target，

既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。

left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left

公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。

target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。

此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。

回溯算法

组合总和问题

此时可以套组合总和的回溯法代码，几乎不用改动。

当然，也可以转变成序列区间选+ 或者 -，使用回溯法，那就是另一个解法。

我也把代码给出来吧，大家可以了解一下，回溯的解法，以下是本题转变为组合总和问题的回溯法代码：

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class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
        }
        // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i + 1);
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();

        }
    }
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (S > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((S + sum) % 2) return 0; // 此时没有方案，两个int相加的时候要各位小心数值溢出的问题
        int bagSize = (S + sum) / 2; // 转变为组合总和问题，bagsize就是要求的和

        // 以下为回溯法代码
        result.clear();
        path.clear();
        sort(nums.begin(), nums.end()); // 需要排序
        backtracking(nums, bagSize, 0, 0);
        return result.size();
    }
};

当然以上代码超时了。

也可以使用记忆化回溯，但这里我就不在回溯上下功夫了，直接看动规

动态规划

如何转化为01背包问题呢。

假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。

所以我们要求的是 x - (sum - x) = target

x = (target + sum) / 2

此时问题就转化为，装满容量为x的背包，有几种方法。

这里的x，就是bagSize，也就是我们后面要求的背包容量。

大家看到(target + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。

这么担心就对了，例如sum 是5，S是2的话其实就是无解的，所以：

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（C++代码中，输入的S 就是题目描述的 target）
if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案

同时如果 S 的绝对值已经大于sum，那么也是没有方案的。

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（C++代码中，输入的S 就是题目描述的 target）
if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案

再回归到01背包问题，为什么是01背包呢？

因为每个物品（题目中的1）只用一次！

这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。

本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j] 表示：填满 j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法

其实也可以使用二维dp数组来求解本题，dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。

下面我都是统一使用一维数组进行讲解， 二维降为一维（滚动数组），其实就是上一层拷贝下来。

  1. 确定递推公式

有哪些来源可以推出dp[j]呢？

只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

例如：dp[j]，j 为5，

  • 已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
  • 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
  • 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]中方法 凑成 容量为5的背包
  • 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]中方法 凑成 容量为5的背包
  • 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法 凑成 容量为5的背包

那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。

所以求组合类问题的公式，都是类似这种：

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dp[j] += dp[j - nums[i]]

这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！

  1. dp数组如何初始化

从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。

这里有录友可能认为从dp数组定义来说 dp[0] 应该是0，也有录友认为dp[0]应该是1。

其实不要硬去解释它的含义，咱就把 dp[0]的情况带入本题看看应该等于多少。

如果数组[0] ，target = 0，那么 bagSize = (target + sum) / 2 = 0。 dp[0]也应该是1， 也就是说给数组里的元素 0 前面无论放加法还是减法，都是 1 种方法。

所以本题我们应该初始化 dp[0] 为 1。

可能有同学想了，那 如果是 数组[0,0,0,0,0] target = 0 呢。

其实 此时最终的dp[0] = 32，也就是这五个零 子集的所有组合情况，但此dp[0]非彼dp[0]，dp[0]能算出32，其基础是因为dp[0] = 1 累加起来的。

dp[j]其他下标对应的数值也应该初始化为0，从递推公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。

  1. 确定遍历顺序

对于01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。

  1. 举例推导dp数组

输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3

bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

dp数组状态变化如下：

C++代码如下：

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class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
        int bagSize = (S + sum) / 2;
        vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }
};

  • 时间复杂度：O(n × m)，n为正数个数，m为背包容量
  • 空间复杂度：O(m)，m为背包容量

本题还是有点难度，大家也可以记住，在求装满背包有几种方法的情况下，递推公式一般为：

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dp[j] += dp[j - nums[i]];

后面我们在讲解完全背包的时候，还会用到这个递推公式！

代码实现

易于理解的二维数组版本：

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class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {

        // 01背包应用之“有多少种不同的填满背包最大容量的方法“
        // 易于理解的二维数组解法及详细注释

        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            sum += nums[i];
        }

        // 注意nums[i] >= 0的题目条件，意味着sum也是所有nums[i]的绝对值之和
        // 这里保证了sum + target一定是大于等于零的，也就是left大于等于零（毕竟我们定义left大于right）
        if(sum < Math.abs(target)){
            return 0;
        }

        // 利用二元一次方程组将left用target和sum表示出来（替换掉right组合），详见代码随想录对此题的分析
        // 如果所求的left数组和为小数，则作为整数数组的nums里的任何元素自然是没有办法凑出这个小数的
        if((sum + target) % 2 != 0) {
            return 0;
        }

        int left = (sum + target) / 2;
        
        // dp[i][j]：遍历到数组第i个数时， left为j时的能装满背包的方法总数
        int[][] dp = new int[nums.length][left + 1];

        // 初始化最上行（dp[0][j])，当nums[0] == j时（注意nums[0]和j都一定是大于等于零的，因此不需要判断等于-j时的情况），有唯一一种取法可取到j，dp[0][j]此时等于1
        // 其他情况dp[0][j] = 0
        // java整数数组默认初始值为0
        for(int j = 0; j <= left; j++) {
            if(nums[0] == j) {
                dp[0][j] = 1;
            }
        }

        // 初始化最左列（dp[i][0])
        // 当从nums数组的索引0到i的部分有n个0时（n > 0)，每个0可以取+/-，因此有2的n次方中可以取到j = 0的方案
        // n = 0说明当前遍历到的数组部分没有0全为正数，因此只有一种方案可以取到j = 0（就是所有数都不取）
        int numZeros = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if(nums[i] == 0) {
                numZeros++;
            }
            dp[i][0] = (int) Math.pow(2, numZeros);

        }

        // 递推公式分析：
        // 当nums[i] > j时，这时候nums[i]一定不能取，所以是dp[i - 1][j]种方案数
        // nums[i] <= j时，num[i]可取可不取，因此方案数是dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]
        // 由递推公式可知，先遍历i或j都可
        for(int i = 1; i < nums.length; i++) {
            for(int j = 1; j <= left; j++) {
                if(nums[i] > j) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
                }
            }
        }

	// 打印dp数组
        // for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
        //     for(int j = 0; j <= left; j++) {
        //         System.out.print(dp[i][j] + " ");
        //     }
        //     System.out.println("");
        // }

        return dp[nums.length - 1][left];
        
    }
}
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class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) sum += nums[i];
	//如果target过大 sum将无法满足
        if ( target < 0 && sum < -target) return 0;
        if ((target + sum) % 2 != 0) return 0;
        int size = (target + sum) / 2;
        if(size < 0) size = -size;
        int[] dp = new int[size + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            for (int j = size; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[size];
    }
}

474.一和零※

建议：

题目链接： https://leetcode.cn/problems/ones-and-zeroes/
文章讲解： https://programmercarl.com/0474.%E4%B8%80%E5%92%8C%E9%9B%B6.html
视频讲解：

题目分析


方案一

此问题想起来和01背包问题很相似，但是去滚动数组似乎需要升维，将一维升为二维

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class Solution {  
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {  
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];  
  
        for (int i = 0; i < strs.length; i++) {  
            String str = strs[i];  
            int num0 = 0, num1 = 0;  
            for (int j = 0; j < str.length(); j++) { // 统计0和1的数量  
                if ('0'== str.charAt(j)) num0++;  
                else num1++;  
            }  
            for (int j = m; j >= num0; j--) { // dp的核心逻辑  
                for (int k = n; k >= num1; k--) {  
                    dp[j][k] = Math.max(dp[j][k], dp[j - num0][k - num1] + 1); // 传递函数  
                }  
            }  
        }  
        return dp[m][n];  
    }  
}

结果

解答成功:
执行耗时:21 ms,击败了55.43% 的Java用户
内存消耗:39.5 MB,击败了84.92% 的Java用户

分析

时间复杂度：
O( n * m * lenth * strLength )

空间复杂度：
O( n * m )

代码随想录

https://programmercarl.com/0474.%E4%B8%80%E5%92%8C%E9%9B%B6.html

思路

这道题目，还是比较难的，也有点像程序员自己给自己出个脑筋急转弯，程序员何苦为难程序员呢。

来说题，本题不少同学会认为是多重背包，一些题解也是这么写的。

其实本题并不是多重背包，再来看一下这个图，捋清几种背包的关系

多重背包是每个物品，数量不同的情况。

本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！

而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。

理解成多重背包的同学主要是把m和n混淆为物品了，感觉这是不同数量的物品，所以以为是多重背包。

但本题其实是01背包问题！

只不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。

开始动规五部曲：

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

**dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]**。

  1. 确定递推公式

dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。

dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。

然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。

所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。

这就是一个典型的01背包！ 只不过物品的重量有了两个维度而已。

  1. dp数组如何初始化

01背包的dp数组初始化为0就可以。

因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。

  1. 确定遍历顺序

01背包一般是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！

那么本题也是，物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。

代码如下：

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for (string str : strs) { // 遍历物品
    int oneNum = 0, zeroNum = 0;
    for (char c : str) {
        if (c == '0') zeroNum++;
        else oneNum++;
    }
    for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
        for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
        }
    }
}

有同学可能想，那个遍历背包容量的两层for循环先后循序有没有什么讲究？

没讲究，都是物品重量的一个维度，先遍历哪个都行！

  1. 举例推导dp数组

以输入：[“10”,”0001”,”111001”,”1”,”0”]，m = 3，n = 3为例

最后dp数组的状态如下所示：

以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下：

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class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0)); // 默认初始化0
        for (string str : strs) { // 遍历物品
            int oneNum = 0, zeroNum = 0;
            for (char c : str) {
                if (c == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};
  • 时间复杂度: O(kmn)，k 为strs的长度
  • 空间复杂度: O(mn)

总结

不少同学刷过这道题，可能没有总结这究竟是什么背包。

此时我们讲解了0-1背包的多种应用，

  • 纯 0 - 1 背包 是求 给定背包容量 装满背包 的最大价值是多少。
    1. 分割等和子集 是求 给定背包容量，能不能装满这个背包。
    1. 最后一块石头的重量 II 是求 给定背包容量，尽可能装，最多能装多少
    1. 目标和  是求 给定背包容量，装满背包有多少种方法。
  • 本题是求 给定背包容量，装满背包最多有多少个物品。

所以在代码随想录中所列举的题目，都是 0-1背包不同维度上的应用，大家可以细心体会！

代码实现

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class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        //dp[i][j]表示i个0和j个1时的最大子集
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        int oneNum, zeroNum;
        for (String str : strs) {
            oneNum = 0;
            zeroNum = 0;
            for (char ch : str.toCharArray()) {
                if (ch == '0') {
                    zeroNum++;
                } else {
                    oneNum++;
                }
            }
            //倒序遍历
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}
02_1_代码随想录算法训练营18期
#LeetCode #算法训练营
38、第九章 动态规划part05
http://yuanql.top/2023/08/15/02_1_代码随想录算法训练营18期/38、第九章 动态规划part05/
作者
Qingli Yuan
发布于
2023年8月15日
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