25、第七章 回溯算法part05

本节内容

* 491.递增子序列
* 46.全排列
* 47.全排列 II

491.递增子序列※

建议：本题和大家刚做过的 90.子集II 非常像，但又很不一样，很容易掉坑里。

题目链接： https://leetcode.cn/problems/non-decreasing-subsequences/
文章讲解： https://programmercarl.com/0491.%E9%80%92%E5%A2%9E%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%88%97.html
视频讲解： https://www.bilibili.com/video/BV1EG4y1h78v

题目分析

方案一

同一层的去重操作没意识到如何解决，看来题解之后还get到这个点

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class Solution {

    private List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();

    private List<Integer> path = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {
        backtracking(nums, 0);
        return result;
    }

    private void backtracking(int[] nums, int start) {

        if (path.size() >= 2 && path.get(path.size() - 1) < path.get(path.size() - 2)) return;
        if (path.size() >= 2) {
            result.add(new ArrayList<>(path));
        }

        HashSet set = new HashSet<>(); // 同一层进行去重操作
        for (int i = start; i < nums.length; i++) {

            if (set.contains(nums[i])) continue;
            path.add(nums[i]);
            backtracking(nums, i + 1);
            path.remove(path.size() - 1);
            set.add(nums[i]);
            
        }
    }
}

结果

解答成功:
执行耗时:5 ms,击败了66.20% 的Java用户
内存消耗:49 MB,击败了16.97% 的Java用户

分析

时间复杂度：
O( n * 2 ^ n )

空间复杂度：
O( n )

代码随想录

https://programmercarl.com/0491.%E9%80%92%E5%A2%9E%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%88%97.html

思路

这个递增子序列比较像是取有序的子集。而且本题也要求不能有相同的递增子序列。

而本题求自增子序列，不能对原数组进行排序的，排完序的数组都是自增子序列了。

所以不能使用排序去重的逻辑！

本题给出的示例，还是一个有序数组 [4, 6, 7, 7]，这更容易误导大家按照排序的思路去做了。

为了有鲜明的对比，我用[4, 7, 6, 7]这个数组来举例，抽象为树形结构如图：

回溯三部曲

  • 递归函数参数

本题求子序列，很明显一个元素不能重复使用，所以需要startIndex，调整下一层递归的起始位置。

代码如下：

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vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex)
  • 终止条件

本题其实类似求子集问题，也是要遍历树形结构找每一个节点，所以可以不加终止条件，startIndex每次都会加1，并不会无限递归。

但本题收集结果有所不同，题目要求递增子序列大小至少为2，所以代码如下：

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if (path.size() > 1) {
    result.push_back(path);
    // 注意这里不要加return，因为要取树上的所有节点
}
  • 单层搜索逻辑

在图中可以看出，同一父节点下的同层上使用过的元素就不能再使用了

那么单层搜索代码如下：

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unordered_set<int> uset; // 使用set来对本层元素进行去重
for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
    if ((!path.empty() && nums[i] < path.back())
            || uset.find(nums[i]) != uset.end()) {
            continue;
    }
    uset.insert(nums[i]); // 记录这个元素在本层用过了，本层后面不能再用了
    path.push_back(nums[i]);
    backtracking(nums, i + 1);
    path.pop_back();
}

**已经习惯写回溯，看到递归函数上面的uset.insert(nums[i]);，下面却没有对应的pop之类的操作，很不习惯 **

这也是需要注意的点，unordered_set<int> uset; 是记录本层元素是否重复使用，新的一层uset都会重新定义（清空），所以要知道uset只负责本层！

最后整体C++代码如下：

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// 版本一
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex) {
        if (path.size() > 1) {
            result.push_back(path);
            // 注意这里不要加return，要取树上的节点
        }
        unordered_set<int> uset; // 使用set对本层元素进行去重
        for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
            if ((!path.empty() && nums[i] < path.back())
                    || uset.find(nums[i]) != uset.end()) {
                    continue;
            }
            uset.insert(nums[i]); // 记录这个元素在本层用过了，本层后面不能再用了
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums, i + 1);
            path.pop_back();
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(nums, 0);
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度: O(n * 2^n)
  • 空间复杂度: O(n)

优化

以上代码用我用了unordered_set<int>来记录本层元素是否重复使用。

其实用数组来做哈希，效率就高了很多。

注意题目中说了，数值范围[-100,100]，所以完全可以用数组来做哈希。

程序运行的时候对unordered_set 频繁的insert，unordered_set需要做哈希映射（也就是把key通过hash function映射为唯一的哈希值）相对费时间，而且每次重新定义set，insert的时候其底层的符号表也要做相应的扩充，也是费事的。

那么优化后的代码如下：

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// 版本二
class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex) {
        if (path.size() > 1) {
            result.push_back(path);
        }
        int used[201] = {0}; // 这里使用数组来进行去重操作，题目说数值范围[-100, 100]
        for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
            if ((!path.empty() && nums[i] < path.back())
                    || used[nums[i] + 100] == 1) {
                    continue;
            }
            used[nums[i] + 100] = 1; // 记录这个元素在本层用过了，本层后面不能再用了
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums, i + 1);
            path.pop_back();
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(nums, 0);
        return result;
    }
};

这份代码在leetcode上提交，要比版本一耗时要好的多。

数组，set，map都可以做哈希表，而且数组干的活，map和set都能干，但如果数值范围小的话能用数组尽量用数组。

代码实现

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class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    List<Integer> path = new ArrayList<>();
    public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {
        backTracking(nums, 0);
        return result;
    }
    private void backTracking(int[] nums, int startIndex){
        if(path.size() >= 2)
                result.add(new ArrayList<>(path));            
        HashSet<Integer> hs = new HashSet<>();
        for(int i = startIndex; i < nums.length; i++){
            if(!path.isEmpty() && path.get(path.size() -1 ) > nums[i] || hs.contains(nums[i]))
                continue;
            hs.add(nums[i]);
            path.add(nums[i]);
            backTracking(nums, i + 1);
            path.remove(path.size() - 1);
        }
    }
}
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class Solution {
    private List<Integer> path = new ArrayList<>();
    private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {
        backtracking(nums,0);
        return res;
    }

    private void backtracking (int[] nums, int start) {
        if (path.size() > 1) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
        }

        int[] used = new int[201];
        for (int i = start; i < nums.length; i++) {
            if (!path.isEmpty() && nums[i] < path.get(path.size() - 1) ||
                    (used[nums[i] + 100] == 1)) continue;
            used[nums[i] + 100] = 1;
            path.add(nums[i]);
            backtracking(nums, i + 1);
            path.remove(path.size() - 1);
        }
    }
}
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//法二：使用map
class Solution {
    //结果集合
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
    //路径集合
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {
        getSubsequences(nums,0);
        return res;
    }
    private void getSubsequences( int[] nums, int start ) {
        if(path.size()>1 ){
            res.add( new ArrayList<>(path) );
            // 注意这里不要加return，要取树上的节点
        }
        HashMap<Integer,Integer> map = new HashMap<>();
        for(int i=start ;i < nums.length ;i++){
            if(!path.isEmpty() && nums[i]< path.getLast()){
                continue;
            }
            // 使用过了当前数字
            if ( map.getOrDefault( nums[i],0 ) >=1 ){
                continue;
            }
            map.put(nums[i],map.getOrDefault( nums[i],0 )+1);
            path.add( nums[i] );
            getSubsequences( nums,i+1 );
            path.removeLast();
        }
    }
}

46.全排列※

建议：本题重点感受一下，排列问题 与 组合问题，组合总和，子集问题的区别。 为什么排列问题不用 startIndex

题目链接： https://leetcode.cn/problems/permutations/
文章讲解： https://programmercarl.com/0046.%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97.html
视频讲解： https://www.bilibili.com/video/BV19v4y1S79W

题目分析

方案一

排序遍历，需要维护一个已经使用过参数的列表，以此来实现相关的功能。

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class Solution {

    private List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();

    private List<Integer> path = new ArrayList<>();

    private int[] used;
    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        used = new int[nums.length];
        backtracking(nums, 0);
        return result;
    }

    private void backtracking(int[] nums, int size) {
        if (size == nums.length) {
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }

        for (int i = 0; i < used.length; i++) {
            if (used[i] == 1) continue;
            path.add(nums[i]);
            used[i] = 1;
            backtracking(nums, size + 1);
            path.remove(path.size() - 1);
            used[i] = 0;
        }
    }
}

结果

解答成功:
执行耗时:1 ms,击败了83.22% 的Java用户
内存消耗:42.4 MB,击败了61.01% 的Java用户

分析

时间复杂度：
O( n! )

空间复杂度：
O( n )

代码随想录

https://programmercarl.com/0046.%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97.html

思路

这个排列问题就算是用for循环暴力把结果搜索出来，这个暴力也不是很好写。

所以为什么回溯法是暴力搜索，效率这么低，还要用它？

因为一些问题能暴力搜出来就已经很不错了！

以[1,2,3]为例，抽象成树形结构如下：

回溯三部曲

  • 递归函数参数

首先排列是有序的，也就是说 [1,2] 和 [2,1] 是两个集合，这和之前分析的子集以及组合所不同的地方。

可以看出元素1在[1,2]中已经使用过了，但是在[2,1]中还要在使用一次1，所以处理排列问题就不用使用startIndex了。

但排列问题需要一个used数组，标记已经选择的元素，如图橘黄色部分所示:

代码如下：

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vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking (vector<int>& nums, vector<bool>& used)
  • 递归终止条件

可以看出叶子节点，就是收割结果的地方。

那么什么时候，算是到达叶子节点呢？

当收集元素的数组path的大小达到和nums数组一样大的时候，说明找到了一个全排列，也表示到达了叶子节点。

代码如下：

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// 此时说明找到了一组
if (path.size() == nums.size()) {
    result.push_back(path);
    return;
}
  • 单层搜索的逻辑

因为排列问题，每次都要从头开始搜索，例如元素1在[1,2]中已经使用过了，但是在[2,1]中还要再使用一次1。

而used数组，其实就是记录此时path里都有哪些元素使用了，一个排列里一个元素只能使用一次。

代码如下：

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for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    if (used[i] == true) continue; // path里已经收录的元素，直接跳过
    used[i] = true;
    path.push_back(nums[i]);
    backtracking(nums, used);
    path.pop_back();
    used[i] = false;
}

整体C++代码如下：

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class Solution {
public:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking (vector<int>& nums, vector<bool>& used) {
        // 此时说明找到了一组
        if (path.size() == nums.size()) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            if (used[i] == true) continue; // path里已经收录的元素，直接跳过
            used[i] = true;
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums, used);
            path.pop_back();
            used[i] = false;
        }
    }
    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
        result.clear();
        path.clear();
        vector<bool> used(nums.size(), false);
        backtracking(nums, used);
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度: O(n!)
  • 空间复杂度: O(n)

排列问题与组合问题的不同：

  • 每层都是从0开始搜索而不是startIndex
  • 需要used数组记录path里都放了哪些元素了

排列问题是回溯算法解决的经典题目

代码实现

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class Solution {

    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();// 存放符合条件结果的集合
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();// 用来存放符合条件结果
    boolean[] used;
    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        if (nums.length == 0){
            return result;
        }
        used = new boolean[nums.length];
        permuteHelper(nums);
        return result;
    }

    private void permuteHelper(int[] nums){
        if (path.size() == nums.length){
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.length; i++){
            if (used[i]){
                continue;
            }
            used[i] = true;
            path.add(nums[i]);
            permuteHelper(nums);
            path.removeLast();
            used[i] = false;
        }
    }
}
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// 解法2：通过判断path中是否存在数字，排除已经选择的数字
class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) return result;
        backtrack(nums, path);
        return result;
    }
    public void backtrack(int[] nums, LinkedList<Integer> path) {
        if (path.size() == nums.length) {
            result.add(new ArrayList<>(path));
        }
        for (int i =0; i < nums.length; i++) {
            // 如果path中已有，则跳过
            if (path.contains(nums[i])) {
                continue;
            } 
            path.add(nums[i]);
            backtrack(nums, path);
            path.removeLast();
        }
    }
}

47.全排列 II※

建议：本题 就是我们讲过的 40.组合总和II 去重逻辑 和 46.全排列 的结合，可以先自己做一下，然后重点看一下 文章中 我讲的拓展内容。 used[i - 1] == true 也行，used[i - 1] == false 也行

题目链接： https://leetcode.cn/problems/permutations-ii/
文章讲解： https://programmercarl.com/0047.%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97II.html
视频讲解： https://www.bilibili.com/video/BV1R84y1i7Tm

题目分析

方案一

此问题和上一个问题： 46.全排列 的区间就在于其给的数组在有数据是重复的，所以就导致可能会出现重复解。
因为对输入数据的排列顺序没有强制性要求，所以可以对其进行排序之后再进行相关的操作。

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class Solution {

    private List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();

    private List<Integer> path = new ArrayList<>();

    private int[] used;

    public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {
        used = new int[nums.length];
        Arrays.sort(nums); // 防止重复解
        backtracking(nums, 0);
        return result;
    }

    private void backtracking(int[] nums, int size) {
        if (size == nums.length) {
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }

        for (int i = 0; i < used.length; i++) {
            if (used[i] == 1) continue;
            used[i] = 1;
            path.add(nums[i]);
            backtracking(nums, size + 1);
            path.remove(path.size() - 1);
            used[i] = 0;
            while (i < used.length - 1 && nums[i] == nums[i + 1]) i++; // 防止重复解
        }
    }
}

结果

解答成功:
执行耗时:1 ms,击败了99.65% 的Java用户
内存消耗:42.9 MB,击败了36.26% 的Java用户

分析

时间复杂度：
O( n! )

空间复杂度：
O( n )

代码随想录

https://programmercarl.com/0047.%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97II.html

思路

这道题目和 46.全排列 的区别在与给定一个可包含重复数字的序列，要返回所有不重复的全排列。

这里又涉及到去重了。

需要强调的是去重一定要对元素进行排序，这样我们才方便通过相邻的节点来判断是否重复使用了。

我以示例中的 [1,1,2]为例 （为了方便举例，已经排序）抽象为一棵树，去重过程如图：

图中我们对同一树层，前一位（也就是nums[i-1]）如果使用过，那么就进行去重。

一般来说：组合问题和排列问题是在树形结构的叶子节点上收集结果，而子集问题就是取树上所有节点的结果。

代码如下：

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class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking (vector<int>& nums, vector<bool>& used) {
        // 此时说明找到了一组
        if (path.size() == nums.size()) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            // used[i - 1] == true，说明同一树枝nums[i - 1]使用过
            // used[i - 1] == false，说明同一树层nums[i - 1]使用过
            // 如果同一树层nums[i - 1]使用过则直接跳过
            if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {
                continue;
            }
            if (used[i] == false) {
                used[i] = true;
                path.push_back(nums[i]);
                backtracking(nums, used);
                path.pop_back();
                used[i] = false;
            }
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {
        result.clear();
        path.clear();
        sort(nums.begin(), nums.end()); // 排序
        vector<bool> used(nums.size(), false);
        backtracking(nums, used);
        return result;
    }
};

// 时间复杂度: 最差情况所有元素都是唯一的。复杂度和全排列1都是 O(n! * n) 对于 n 个元素一共有 n! 中排列方案。而对于每一个答案，我们需要 O(n) 去复制最终放到 result 数组
// 空间复杂度: O(n) 回溯树的深度取决于我们有多少个元素
  • 时间复杂度: O(n! * n)
  • 空间复杂度: O(n)

拓展

去重最为关键的代码为：

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if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {
    continue;
}

**如果改成 used[i - 1] == true， 也是正确的!**，去重代码如下：

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if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == true) {
    continue;
}

这是为什么呢，就是上面我刚说的，如果要对树层中前一位去重，就用used[i - 1] == false，如果要对树枝前一位去重用used[i - 1] == true。

对于排列问题，树层上去重和树枝上去重，都是可以的，但是树层上去重效率更高！

这么说是不是有点抽象？

来来来，我就用输入: [1,1,1] 来举一个例子。

树层上去重(used[i - 1] == false)，的树形结构如下：

树枝上去重（used[i - 1] == true）的树型结构如下：

大家应该很清晰的看到，树层上对前一位去重非常彻底，效率很高，树枝上对前一位去重虽然最后可以得到答案，但是做了很多无用搜索。

总结

这道题其实还是用了我们之前讲过的去重思路，但有意思的是，去重的代码中，这么写：

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if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {
    continue;
}

和这么写：

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if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == true) {
    continue;
}

都是可以的，这也是做这道题目困惑的地方，知道used[i - 1] == false也行而used[i - 1] == true也行，但是就想不明白为啥。

所以我通过举[1,1,1]的例子，把这两个去重的逻辑分别抽象成树形结构，可以一目了然：为什么两种写法都可以以及哪一种效率更高！

这里可能大家又有疑惑，既然 used[i - 1] == false也行而used[i - 1] == true也行，那为什么还要写这个条件呢？

直接这样写 不就完事了？

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if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1]) {
    continue;
}

其实并不行，一定要加上 used[i - 1] == false或者used[i - 1] == true，因为 used[i - 1] 要一直是 true 或者一直是false 才可以，而不是 一会是true 一会又是false。 所以这个条件要写上。

代码实现

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class Solution {
    //存放结果
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    //暂存结果
    List<Integer> path = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {
        boolean[] used = new boolean[nums.length];
        Arrays.fill(used, false);
        Arrays.sort(nums);
        backTrack(nums, used);
        return result;
    }

    private void backTrack(int[] nums, boolean[] used) {
        if (path.size() == nums.length) {
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            // used[i - 1] == true，说明同⼀树⽀nums[i - 1]使⽤过
            // used[i - 1] == false，说明同⼀树层nums[i - 1]使⽤过
            // 如果同⼀树层nums[i - 1]使⽤过则直接跳过
            if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {
                continue;
            }
            //如果同⼀树⽀nums[i]没使⽤过开始处理
            if (used[i] == false) {
                used[i] = true;//标记同⼀树⽀nums[i]使⽤过，防止同一树枝重复使用
                path.add(nums[i]);
                backTrack(nums, used);
                path.remove(path.size() - 1);//回溯，说明同⼀树层nums[i]使⽤过，防止下一树层重复
                used[i] = false;//回溯
            }
        }
    }
}
02_1_代码随想录算法训练营18期
#LeetCode #算法训练营
25、第七章 回溯算法part05
http://yuanql.top/2023/08/09/02_1_代码随想录算法训练营18期/25、第七章 回溯算法part05/
作者
Qingli Yuan
发布于
2023年8月9日
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